初中奥数28条知识点总结范文【篇1】7900字
导语今天为大家整理了有关初中数学知识点总结：奥数30条知识点总结的相关内容，以供大家阅读。
28大奥数知识点回顾：
1．和差倍问题
和差问题和倍问题差倍问题
已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数
公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系
公式①(和－差)÷2=较小数
较小数＋差=较大数
和－较小数=较大数
②(和＋差)÷2=较大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
和÷(倍数＋1)=小数
小数×倍数=大数
和－小数=大数
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
小数＋差=大数
关键问题求出同一条件下的
和与差和与倍数差与倍数
2．年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
3．归一问题的基本特点：
问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；
4．植树问题
基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树
基本公式棵数=段数＋1
棵距×段数=总长棵数=段数－1
棵距×段数=总长棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
5．鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6．盈亏问题
基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
7．牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
8．周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
平年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
9．平均数
基本公式：①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。
10．抽屉原理
抽屉原则一：如果把（n 1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4 0 0②4=3 1 0③4=2 2 0④4=2 1 1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>;m，那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m] 1个物体：当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[x]表示不超过x的整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
11．定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12．数列求和
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：通项公式：an=a1 （n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1)×公差；
数列和公式：sn,=(a1 an)×n÷2；
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：n=(an a1)÷d＋1；
项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：d=（an－a1））÷（n－1）；
公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；
13．二进制及其应用
十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200 30 4=2×102 3×10 4。
=an×10n-1 an-1×10n-2 an-2×10n-3 an-3×10n-4 an-4×10n-5 an-6×10n-7 …… a3×102 a2×101 a1×100
注意：n0=１；n１=n（其中n是任意自然数）
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
（2）=an×2n-1 an-1×2n-2 an-2×2n-3 an-3×2n-4 an-4×2n-5 an-6×2n-7 …… a3×22 a2×21 a1×20
注意：an不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
14．加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1 m2....... mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2.......×mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：总数＝1 2 3 … （点数一1）；
②数角规律=1 2 3 … （射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1 2×2 3×3 … 行数×列数
15．质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是的。
分解质因数的标准表示形式：n=，其中a1、a2、a3……an都是合数n的质因数，且a1<……
求约数个数的公式：p=(r1 1)×(r2 1)×(r3 1)×……×(rn 1)
互质数：如果两个数的公约数是1，这两个数叫做互质数。
16．约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中的一个，叫做这几个数的公约数。
公约数的性质：
1、几个数都除以它们的公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的公约数等于这几个数的公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……；
18的倍数有：18、36、54、72……；
那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法
17．数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1.如果a、b能被c整除，那么（a b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
18．余数及其应用
基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19．余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(modm)；
②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；
④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a c≡b d(modm)，a-c≡b-d(modm)；
⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；
⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；
⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若a=a×b，则ma=ma×b=（ma）b
②若b=c d则mb=mc d=mc×md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数m，n表示m的各个数位上数字的和，则m≡n(mod9)或（mod3）；
②一个自然数m，x表示m的各个奇数位上数字的和，y表示m的各个偶数数位上数字的和，则m≡y-x或m≡11-（x-y）(mod11)；
五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。
20．分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：a、分量发生变化，总量不变。b、总量发生变化，但其中有的分量不变。c、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
21．分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。
22．分数拆分
一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：
23．完全平方数
完全平方数特征：
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2.除以3余0或余1；反之不成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：x2-y2=（x-y）（x y）
完全平方和公式：（x y）2=x2 2xy y2
完全平方差公式：（x-y）2=x2-2xy y2
24．比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若a扩大或缩小几倍，b也扩大或缩小几倍（ab的商不变时），则a与b成正比。
反比例：若a扩大或缩小几倍，b也缩小或扩大几倍（ab的积不变时），则a与b成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
25．综合行程
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速 水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速 水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度 逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。
26．工程问题
基本公式：
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。
27．逻辑推理
基本方法简介：
①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。
②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如a和b两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。
28．几何面积
基本思路：
在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
常用方法：
1.连辅助线方法
2.利用等底等高的两个三角形面积相等。
3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。
4.利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
篇1书写经验93人觉得有启发
写总结这件事，很多人觉得挺麻烦，其实是有窍门的。总结，要是想写得好，就得先把材料好好过一遍，不然东拼西凑出来的，看着乱七八糟。比如初中奥数那28条知识点，一开始得搞清楚每个点是什么，最好能找个笔记本专门记下来。
有些人喜欢从头到尾抄一遍书上的定义，这法子虽然稳妥，但效率不高。总结不是复述，重点是要提炼核心。比如说“勾股定理”，不用写一大段证明过程，直接说“直角三角形两条边平方和等于斜边平方”，这就够了。这样既省地方，又让人一眼就能明白。
还有个要注意的地方，就是顺序。总结里的内容最好按照一定的逻辑排布，不然读者看的时候会迷糊。像数学题，先讲基础概念，再讲公式运用，最后举几个例子，这样就比较清晰。不过有时候可能会忘了调整顺序，写到后面才发现前面漏了什么，这时候就需要回过头去补充一下。
写总结时，最好多用专业术语，这能显得很靠谱。比如说到概率，就别老是说“可能”“也许”，直接用“可能性”“概率值”之类的词，听着就专业多了。不过有时候写着写着，术语用得太多，反而会让普通读者觉得晦涩难懂，所以得把握好这个度。
书写注意事项：
总结不是越长越好，简练才是关键。像那些冗长的句子，一看就让人头疼。有时候为了表达完整，一个句子能拉得很长，但这样很容易让读者失去耐心。最好是把长句拆开，分成几句话来说，这样既方便理解，也显得更有条理。
还有个小细节，写总结时最好能带上一些图表或者示意图，尤其是涉及几何或者函数的部分。一张图胜过千言万语，能让复杂的问题变得直观易懂。不过有时候画图的时候可能会忘记标注单位，或者比例没标清楚，这就需要事后检查一下。
最后一点，写总结的时候，最好能结合自己的实际经验。比如在学习奥数的过程中遇到过哪些难题，又是怎么解决的，把这些经历写进去，不仅能让总结更生动，还能给别人提供一些参考。不过有时候会因为太急于分享经验，而忽略了总结本身的条理性，这就需要反复修改几次了。
初中奥数数论问题期末复习知识点总结范文【篇2】 500字
一、数论
1.奇偶性问题
奇 奇=偶奇×奇=奇
奇 偶=奇奇×偶=偶
偶 偶=偶偶×偶=偶
2.位值原则
形如：abc=100a 10b c
3.数的整除特征：
整除数特征
2末尾是0、2、4、6、8
3各数位上数字的和是3的倍数
5末尾是0或5
9各数位上数字的和是9的倍数
11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数
4和25末两位数是4(或25)的倍数
8和125末三位数是8(或125)的倍数
7、11、13末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数
4.整除性质
①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。
②如果bc|a，那么b|a，c|a。
③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。
④如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5.带余除法
一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r
6.分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n=p1×p2×...×pk
7.约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：
n的约数个数：d(n)=(a1 1)(a2 1)....(ak 1)
n的所有约数和：(1 p1 p1 …p1)(1 p2 p2 …p2)…(1 pk pk …pk)
篇2书写经验237人觉得有启发
期末复习的时候，数论这部分内容挺关键的，尤其是奥数里的数论题型，搞不好就容易出错。比如说质因数分解这章节，得先把数字拆成几个质数相乘的形式，这个过程不能马虎，要是漏掉一个质因数，后面的结果肯定不对劲。还有同余的概念，这是数论里比较抽象的一部分，书本上的定义得记清楚，不然碰到选择题或者填空题就懵了。
关于最大公约数和最小公倍数，这两个概念经常一起考，做题的时候一定要分清谁是谁，别搞混了。如果题目里给了两个数，让你求它们的最大公约数，那得先列出各自的质因数分解式，然后找出公共的部分。最小公倍数也是一样的道理，不过要把所有的质因数都包括进去，缺一不可。有时候看到题目条件里有“互质”这样的字眼，就代表这两个数没有除了1以外的其他公约数。
不定方程也是数论复习的重点之一，这类题目通常需要尝试不同的整数解，找到满足条件的那个答案。一开始可能觉得无从下手，其实可以先列出一些简单的可能性，逐步排除不可能的情况。要是碰上系数较大的不定方程，试着用辗转相除法先化简一下，这样能减少计算量。
书写注意事项：
费马小定理在竞赛里也很常见，它可以帮助我们快速判断某些大数是否为素数。不过这里有个小地方要注意，就是底数必须和模数互质才行，不然定理就不成立了。有时候出题人会故意设置陷阱，让你忽略这个前提条件，所以审题的时候一定要仔细。
还有一些特殊的数列，像斐波那契数列之类的，也需要掌握其规律。这类数列的递推公式得背熟，遇到类似的题目就能迅速反应过来。还有就是数论证明题，这类题目通常需要严密的逻辑推理，不能凭感觉乱写。刚开始接触的时候会觉得很难，但多练习几道题后就会慢慢找到感觉。
2025初中奥数数论问题知识点总结范文【篇3】 700字
一、数的整除，质数与合数问题：如果问你它们的定义是什么，你可能很快就可以给出答案，但是你是否能罗列一些关于它们的特性呢?数的整除是数论的基础，对于一些特殊数的整除特性，你必须要牢记于脑。而质数与合数的问题，很多时候是和奇偶性联系在一起的。
例如：有一道题目这样说，有两个质数的和是99，问这两个质数的乘积是多少?
这看似简单的一道题目，其实蕴藏了很多知识点。首先你要明白什么是质数，其次你要知道两数和的特点是什么?怎么样能得偶数和怎么样能得奇数和。明白了这两点，这道题目一眼就可以知道答案。
二、约数与倍数问题：这里面最重要的就是公约数和最小公倍数问题。
关于这个知识点，你必须掌握：1，它们的概念是什么;2，它们的求解方法，即短除和分解质因数，你是否都能灵活应用;3，关于两个数的约束与倍数运算的技巧是什么?这些问题我们在讲课的时候都做了强调而且给出了总结，你是否都做好了笔记，是否都熟练掌握了?
三、余数问题：这是数论里面的难中之难。为什么这么说呢?因为关于余数的问题，一般都是比较综合的题目。往往一道题目中把约数与倍数，质数与和数等等的知识全都归结到了一起。
但是万变不离其宗，我在讲课的时间也强调了，余数问题不管怎么变，只要抓住一个式子，什么问题都迎刃而解了：a÷b=c…d.如果你能把老师上课讲的内容掌握，真正能理解这个问题，那不管你遇到的是同余问题，还是其它的复杂题目，你都能找到解题的突破口。
四、数论综合：这一部分既是对数论内容的一个归纳总结，拓展应用，也是对你知识点的一个深入。在这里你必须要记住一些常用的计算技巧。
篇3书写经验172人觉得有启发
总结是一种重要的工作技能，尤其在需要归纳大量信息的时候。比如学习数学，特别是初中奥数里的数论部分，总结知识点能帮助理清思路，提高解题效率。写好这样的总结，得掌握一些方法。
先从整理资料开始。找到相关的课本、笔记，还有做过的习题，把所有涉及数论的知识点都列出来。像是质数、合数、最大公约数、最小公倍数这些基本概念，还有同余定理、费马小定理之类的进阶内容。列出清单后，别急着合并，先分类，按照难易程度或者使用频率来分。这样做的好处是，以后复习时能快速定位到某个知识点。
接着就是提炼重点了。有些知识点可能理论性强，看起来很复杂，但实际考试里不会太深入，这时就可以稍微简略处理。相反，那些经常考到的，或者是理解起来比较困难的，就得详细写明定义、公式，甚至举几个例子。记得，提炼不是删减，而是用自己的话重新组织语言，这样才能加深记忆。
写的时候要注意条理性。每个知识点最好单独一段，开头简单介绍，中间展开说明，结尾可以加上自己的理解或者小提醒。比如关于质数，可以直接说什么是质数，再讲几个常见的质数，最后提醒大家质数没有除了1和它本身以外的因数。这样的结构既清晰又实用。
有时候会遇到一些概念特别相近的情况，比如最大公约数和最小公倍数。这时候可以通过对比来写，列出它们的区别和联系。不过这类对比得谨慎，要是弄混了性质就麻烦了。比如说最大公约数是两个数共同拥有的最大因数，而最小公倍数则是它们共同拥有的最小倍数，这两者的计算方式完全不同，一个是乘法，另一个则是除法。
还有一个需要注意的地方，就是举例。适当的例子能让抽象的概念变得具体，但例子不能太多，多了反而会分散注意力。选择的例子最好是经典题型，或者是自己曾经做错的题目，这样能起到警示作用。
写完之后，不妨找个同学或者老师帮忙看看。他们可能会提出新的看法，甚至指出遗漏的部分。当然，也可能因为意见不同而产生争论，但这其实是个好事，通过讨论可以完善总结的内容。
初中奥数几何常用辅助线作法总结2025范文【篇4】 500字
人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添?把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
图中有角平分线，可向两边作垂线。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线加一倍。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
等积式子比例换，寻找相似很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，弦高公式是关键。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内切圆，内角平分线梦园。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线
篇4书写经验188人觉得有启发
在初中阶段，奥数几何题目常会涉及一些复杂的图形和条件，这时候掌握辅助线的作法就显得尤为重要。辅助线可以帮助我们将复杂的问题分解为简单的部分，从而更容易找到解题的突破口。这里结合多年教学经验和学生反馈，谈谈如何写出一份高质量的几何辅助线作法总结。
首先，明确总结的目的很重要。写总结不是为了罗列知识点，而是为了让读者能够快速理解并运用。因此，开头应该简明扼要地指出总结的核心内容是什么，比如“本总结主要介绍几种常见几何图形中辅助线的作法”。接着，就可以进入具体的操作步骤了。这部分需要详细描述每种辅助线的具体位置、画法以及作用。例如，对于三角形内角平分线的作法，可以提到“从顶点向对边引一条直线，这条直线需与两边成相等的角度”。这样的描述能让读者直观地了解作法。
在描述过程中，要特别注意结合实例来讲解。比如，当遇到平行四边形时，可以举例说明如何通过添加对角线将其分成两个全等三角形。这样不仅能加深理解，还能帮助记忆。同时，也可以分享一些技巧，如“如果题目给出的是梯形，尝试连接两条腰的中点，这往往能构造出平行线”。
需要注意的是，在写作时，语言表达要清晰准确，但也不要过于追求完美。有时候，适当的口语化反而能让文章更亲切易懂。例如，“在做这类题目的时候，大家不妨多试几次，说不定就能找到那条关键的辅助线。”这样的表述既传递了实用的信息，又不会让读者感到压力。
书写注意事项：
总结中还可以加入一些个人的经验之谈。比如，有些学生可能习惯于死记硬背各种定理和公式，但其实理解背后的原理才是关键。所以，可以建议读者“试着去思考为什么这条辅助线这么画，它到底解决了什么问题？”通过这种方式，不仅能提高解题效率，也能培养逻辑思维能力。
写总结的过程中也难免会出现一些小瑕疵。比如，有时为了强调某个重点，可能会重复提到类似的内容；或者是由于时间紧迫，某些细节没有交代得足够清楚。这些都是正常的，不必过于苛责自己。毕竟，总结的目的在于实用，而不是追求绝对的完美。
小编友情提醒：
记得检查一遍全文，确保所有的内容都紧密围绕主题展开。如果有条件的话，可以让同事或者朋友帮忙审阅一下，听听他们的意见。毕竟，别人的意见往往能带来新的视角，有助于进一步完善总结。
初中奥数立体几何学习口诀总结范文【篇5】 500字
学好立几并不难，空间想象是关键。点线面体是一家，共筑立几百花园。
点在线面用属于，线在面内用包含。四个公理是基础，推证演算巧周旋。
空间之中两条线，平行相交和异面。线线平行同方向，等角定理进空间。
判定线和面平行，面中找条平行线。已知线与面平行，过线作面找交线。
要证面和面平行，面中找出两交线，线面平行若成立，面面平行不用看。
已知面与面平行，线面平行是必然;若与三面都相交，则得两条平行线。
判定线和面垂直，线垂面中两交线。两线垂直同一面，相互平行共伸展。
两面垂直同一线，一面平行另一面。要让面与面垂直，面过另面一垂线。
面面垂直成直角，线面垂直记心间。
一面四线定射影，找出斜射一垂线，线线垂直得巧证，三垂定理风采显。
空间距离和夹角，平行转化在平面，一找二证三构造，三角形中求答案。
引进向量新工具，计算证明开新篇。空间建系求坐标，向量运算更简便。
知识创新无止境，学问思辨勇攀登。
多面体和旋转体，上述内容的延续。扮演载体新角色，位置关系全在里。
算面积来求体积，基本公式是依据。规则形体用公式，非规形体靠化归。
展开分割好办法，化难为易新天地。
篇5书写经验198人觉得有启发
学习立体几何对于初中奥数来说是个不小的挑战。一开始可能觉得概念挺多，公式也复杂，但其实只要掌握好方法，总结起来并不难。记得刚开始学的时候，我总是记不住那些定理，后来发现通过编口诀能帮助记忆不少。
比如说空间平行的概念，我就自己琢磨了个口诀，“线面平行需满足，直线外平行内”。虽然有点绕口，但背熟后做题就方便多了。还有就是关于三视图的问题，我总结的口诀是“主俯长相等宽，左俯高平齐”。这个口诀虽然简单，但在考试时真的能省不少时间。
总结不是一蹴而就的事情。有时候我会先把每个知识点单独整理出来，然后再慢慢合并。比如在处理立体图形的体积计算时，我就把各种图形的体积公式都列出来对比，这样不仅便于记忆，还能发现它们之间的联系。像正方体的体积公式是边长的三次方，而长方体则是长乘宽乘高，看似不同，但其实都是底面积乘以高。
不过，在整理的过程中，有时候会因为一时疏忽把某些关键点遗漏掉。比如有一次我整理圆柱体的表面积时，忘了加上两个底面的面积，结果后面做题老是出错。后来发现这个问题后，我就特意标注提醒自己别再漏掉了。其实这类问题没什么大不了的，只要平时多检查几遍，慢慢就会养成习惯。
书写注意事项：
总结的时候最好能结合实际题目练习。我曾经遇到过一个题目，涉及到了立体图形的截面问题，当时一下子没反应过来，后来通过分析题目找到规律，才明白原来可以通过画辅助线的方法来解决。从那以后，每次碰到类似的问题，我都会试着画辅助线，果然效果不错。
初中奥数计算公式记忆方法总结范文【篇6】 1250字
1、基数×点数=总数 总数÷点数=份数总数÷份数=每份数
2、 2倍数×倍数=几倍数 几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数
3、 3速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度
4、 4单价×数量=总价 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价
5、 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率
6、 加数 加数=和 和-一个加数=另一个加数
7、 被减数-减数=差 被减数-差=减数 差 减数=被减数
8、 因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数
9、 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数
小学数学图形计算公式
1 、正方形 c周长 s面积 a边长 周长=边长×4 c=4a 面积=边长×边长 s=a×a
2 、正方体 v:体积 a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 s表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 v=a×a×a
3 、长方形
c周长 s面积 a边长
周长=(长 宽)×2
c=2(a b)
面积=长×宽
s=ab
4 、长方体
v:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高
(1)表面积(长×宽 长×高 宽×高)×2
s=2(ab ah bh)
(2)体积=长×宽×高
v=abh
5 三角形
s面积 a底 h高
面积=底×高÷2
s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底
三角形底=面积 ×2÷高
6 平行四边形
s面积 a底 h高
面积=底×高
s=ah
7 梯形
s面积 a上底 b下底 h高
面积=(上底 下底)×高÷2
s=(a b)× h÷2
8 圆形
s面积 c周长 ∏ d=直径 r=半径
(1)周长=直径×∏=2×∏×半径
c=∏d=2∏r
(2)面积=半径×半径×∏
9 圆柱体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
(1)侧面积=底面周长×高
(2)表面积=侧面积 底面积×2
(3)体积=底面积×高
(4)体积=侧面积÷2×半径
10 圆锥体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径
体积=底面积×高÷3
总数÷总份数=平均数
和差问题的公式
(和 差)÷2=大数
(和-差)÷2=小数
和倍问题
和÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
(或者 和-小数=大数)
差倍问题
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
(或 小数 差=大数)
植树问题
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数 1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数-1)
株距=全长÷(株数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数 1)
株距=全长÷(株数 1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
盈亏问题
(盈 亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数 (大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数 相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
流水问题
顺流速度=静水速度 水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=(顺流速度 逆流速度)÷2
水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
浓度问题
溶质的重量 溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度
溶液的重量×浓度=溶质的重量
溶质的重量÷浓度=溶液的重量
利润与折扣问题
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100% 涨跌金额=本金×涨跌百分比
折扣=实际售价÷原
篇6书写经验117人觉得有启发
关于初中奥数计算公式记忆方法的总结，其实有不少讲究。很多同学觉得公式背起来挺麻烦，尤其是那些看起来复杂的，但要是掌握了正确的方法，其实并不难。比如说平方差公式，a²-b²=(a b)(a-b)，有人就喜欢把它联想成一个“夹心饼干”，两边是(a b)和(a-b)，中间夹着平方差。这种方法挺有趣，能帮助记忆。
还有一种技巧，就是通过做题来巩固记忆。比如学了完全平方公式(a b)²=a² 2ab b²后，可以找一些例题来做，这样既能加深印象，又能知道什么时候该用这个公式。有时候，题目做多了，你会发现其实有些规律自己就记住了，不用特意去背。
记忆方法因人而异。有些人习惯把公式抄在本子上，每天看几遍，这样也能起到效果。但要注意的是，抄写的时候不能太随意，得边写边理解它的含义。如果只是机械地抄，可能效果会打折扣。
不过，有些同学可能觉得这种方法不太适合自己，那就可以试试其他方式。比如画图法，把公式里的元素用图形表示出来，这样直观一点，也更容易记住。比如勾股定理a² b²=c²，就可以画个直角三角形，标注好三边的关系，看着图就能明白公式的道理。
书写注意事项：
有时候老师讲的某些窍门也很有用。比如立方和公式a³ b³=(a b)(a²-ab b²)，有人就建议把前半部分(a b)当成钥匙，后半部分(a²-ab b²)当成锁，钥匙开锁，这样既形象又便于记忆。这种方法听起来有点复杂，但如果试一试，说不定就找到了适合自己的路子。
初中奥数求二次函数顶点坐标公式总结范文【篇7】 350字
自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：y=ax2 bx c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y=a(x-h)2 k或y=a(x m)^2 k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2 bx c=0的两个根，a≠0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2 k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2 k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y=ax2 bx c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2 bx c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2 bx c=a(x-x1)(x-x2),二次函数y=ax2 bx c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2).
篇7书写经验92人觉得有启发
在编写初中奥数关于求二次函数顶点坐标的公式总结时，需要特别注意几个关键点。首先，得明确这个公式的来源和基本原理。通常来说，二次函数的标准形式为y=ax² bx c，而它的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来确定。这里需要注意的是，分母2a不能为零，否则会遇到数学上的无意义情况。
其次，在实际教学或者学习过程中，同学们常常会遇到一些细节上的混淆。例如，在计算f(-b/2a)时，有些学生可能因为符号问题而出错，特别是当b为负值时，容易漏掉括号，导致结果偏差。因此，在书写这类总结时，应该强调符号处理的重要性，提醒大家在代入数值前仔细检查每一个运算步骤。
另外一点就是，对于不同教材版本可能存在的差异，总结时可以适当提及。比如有的教材可能会用配方法推导顶点坐标公式，而另一些则直接给出公式。无论采用哪种方式，最终的目的都是帮助理解公式背后的逻辑。如果有机会接触到多种方法，不妨都尝试一下，这样有助于拓宽思路，加深印象。
除了理论部分之外，实践练习同样不可或缺。建议每次做完题目后都要回顾一遍自己的解题过程，看看有没有哪里可以改进。比如是否遗漏了某些重要的步骤，或者是在计算过程中出现了不必要的复杂化。通过不断的反思和调整，才能真正掌握好这部分内容。
小编友情提醒：
值得注意的是，在整理资料的时候，格式整洁与否也很重要。清晰的排版不仅便于阅读，也能反映出作者的态度。因此，在编写总结时，尽量保持字体大小一致，段落分明，必要时还可以利用图表辅助说明，使得整个文档看起来更加专业和易懂。
初中奥数代数式知识点总结整理范文【篇8】 400字
一、代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。注意：
(1)单个数字与字母也是代数式;
(2)代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号;(3)代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解。
二、整式：单项式与多项式统称为整式。
1.单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。特别地，单独一个数或者一个字母也是单项式。
2.多项式：几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项;在多项式里，次数项的次数就是这个多项式的次数。
三、升(降)幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大(或从大到小)的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升(降)幂排列。
篇8书写经验26人觉得有启发
写总结的时候，关键是要理清思路，把该说的东西都说清楚。一开始得先把相关的材料都准备好，不管是笔记还是参考书，都得摊开来看一遍。这一步很重要，因为只有全面了解了内容，才能写出一个靠谱的总结。
接着就是提炼重点了，不是所有的内容都要写进去，那些重复的、次要的可以省略掉。比如说代数式的知识点，像什么多项式，因式分解之类的，这些都是核心部分。不过有时候会不小心遗漏一些细节，比如在写因式分解的时候，可能会忘了提到平方差公式，这就有点遗憾了。
接下来就是组织语言了，最好能用简洁明了的方式表达出来。比如可以列个小清单，每个知识点旁边备注一下注意事项，这样看起来会更直观。不过这里有个小问题需要注意，就是有些概念可能表述得不够清晰，这就需要反复检查几遍，确保别人能看懂。
还有一个技巧就是结合实例，用具体的例子来解释抽象的概念。比如讲到代数式的应用时，可以举个简单的方程求解的例子，这样能让读者更容易理解。不过有时候可能会忘记补充背景信息，导致例子显得孤立无援。
最后一步就是校对了，看看有没有错别字或者不通顺的地方。这个环节特别重要，因为哪怕是一个小错误也可能影响整个总结的质量。有时候写着写着，可能会突然忘记前面提到的内容，结果后面又重新啰嗦一遍，这就有点浪费篇幅了。
